Question

1．已知a，b，c是非零实数，且a²+b²+c²=1．a（$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=-3，求a+b+c的值．

Answer 1

分析 将原式变形成a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）=0后可得（a+b+c）（$\frac{bc+ac+ab}{abc}$）=0，由a+b+c≠0可知bc+ac+ab=0，将其代入得（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）得（a+b+c）²=1，即可得答案．

解答 解：将a（$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=-3变形如下，
a（$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$）+1+b（$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$）+1+c（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）+1=0，
即a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）=0，
∴（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）=0，
∴（a+b+c）（$\frac{bc+ac+ab}{abc}$）=0，
∴a+b+c=0（舍）或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）=a²+b²+c²=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值为1，-1．

点评 本题主要考查分式的混合运算，由原式变形得出bc+ac+ab=0且（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）是解题的关键．