Question

2．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论①abc＜0；②b²-4ac＞0；③ac-b+1=0；④OA•OB=$\frac{c}{a}$．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；把A点坐标代入解析式可对③进行判断；设A、B两点的横坐标为x₁、x₂，则OA=-x₁，OB=x₂，利用根与系数的关系可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以②正确；
∵OA=OC，C（0，c），
∴A（-c，0），
∴ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，所以③正确；
设A、B两点的横坐标为x₁、x₂，则OA=-x₁，OB=x₂，
∵x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴OA•OB=-$\frac{c}{a}$，所以④错误．
故选C．

点评 本题考查了 抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数图象与系数的关系．