Question

16．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，E为CB延长线上一点，AE=CF．
（1）求证△AEF≌CFE；
（2）若∠CFA=60°，求∠CAE的度数．

Answer 1

分析 （1）由条件可先证得Rt△ABE≌Rt△CBF，可求得BE=BF，进一步可证明△AEF≌△CFE；
（2）由条件结合全等三角形的性质可求得∠EAF，再由等腰直角三角形的性质可得∠CAB，则可求得∠CAE的度数．

解答 （1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴BE=BF，∠EAB=∠FCB，
∴AF=CE，
在△AEF和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAF=∠ECF}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△CFE（SAS）；
（2）解：
∵∠CFA=60°，
∴∠FCE=90°-60°=30°，
∴∠EAF=∠FCE=30°，
∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAE=∠CAB+∠EAF=45°+30°=75°．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边、对应角相等）是解题的关键．