题目内容
19．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=α，在BA的延长线上任取一点D，过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E．（1）当∠BAC=60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出EC，BC，ED的数量关系；
（2）当∠BAC=90°时，如图2，判断EC，BC，ED之间的数量关系，并加以证明；
（3）当∠BAC=α时（0°＜α＜180°），请写出EC，BC，ED之间的数量关系并写出解题思路．
分析 （1）构建已知条件画出图象即可；
（2）结论：BC+ED=$\sqrt{2}$BC．只要证明四边形DECF为平行四边形，△BDF为等腰直角三角形．在Rt△BDF中，BF2=BD2+DF2，推出（BC+ED）2=2EC2．推出BC+ED=$\sqrt{2}$EC即可；
（3）结论：BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．由（2）可知四边形ACFD为平行四边形，△BDF为等腰三角形，过D点作DN⊥BC于N点可得BN=$\frac{1}{2}$BF，∠BDN=$\frac{1}{2}$α．在Rt△BDN中sin∠BDN=$\frac{BN}{BD}$=sin$\frac{α}{2}$，可得BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$；
解答 解：（1）图象如图所示，
数量关系：EC=BC+ED．
（2）结论：BC+ED=$\sqrt{2}$BC．
理由：过D作DF∥AC交BC延长线于F点．
∵DF∥AC，ED∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形．
∴ED=CF，EC=DF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵ED∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，∠EDB=∠DBC．
∴∠CED=∠BDE．
∴AE=AD．
∴EC=BD．
∴BD=DF．
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC=90°．
∴△BDF为等腰直角三角形．
在Rt△BDF中
∵BF2=BD2+DF2，
∴（BC+ED）2=2EC2．
∴BC+ED=$\sqrt{2}$EC．
（3）结论：BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．
理由：如图，
由（2）可知四边形ACFD为平行四边形，△BDF为等腰三角形，
过D点作DN⊥BC于N点可得BN=$\frac{1}{2}$BF，∠BDN=$\frac{1}{2}$α．
在Rt△BDN中sin∠BDN=$\frac{BN}{BD}$=sin$\frac{α}{2}$．
可得BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．
点评 本题考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
如图，四边形纸片ABCD中，∠A=75°，∠B=65°，将纸片折叠，使C，D落在AB边上的C′，D′处，折痕为MN，则∠AMD′+∠BNC′=80°．
如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（ ）| A． | 等于1米 | B． | 大于1米 | C． | 小于1米 | D． | 以上都不对 |
如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C=30°，OA=3，则弧AB的长为π．（结果保留π）