Question

7．在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE．
（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．
①依题意补全图1；
②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：
AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．
想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．
…
请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）
（2）如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据题意补全图形即可；
②过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，由正方形的性质得出∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，由SAS证明△MBE≌△FBE，得出EM=EF，证出∠4=∠5，由SAS证明△AMB≌△CFB，得出AM=FC，∠6=∠2=45°，证出∠MAE=∠6+∠1=90°，在Rt△MAE中，由勾股定理即可得出结论；
（2）过B作MB⊥BE，使BM=BE，连接ME、MF、AM，由SAS证得：△MBF≌△EBF，得出MF=EF，再由SAS证得：△AMB≌△CBE，得出AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，证出∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，得出∠MAF=90°，在Rt△MAF中，由勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）①补全图形，如图1所示：
②AE²+FC²=EF²；理由如下：
过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，
∵∠3=45°，
∴∠MBE=∠3=45°，
在△MBE和△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=BF}&{\;}\\{∠4=∠3}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MBE≌△FBE（SAS），
∴EM=EF，∵∠4=90°-∠ABF，∠5=90°-∠ABF，
∴∠4=∠5，
在△AMB和△CFB中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=BF}\\{∠4=∠5}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CFB（SAS），
∴AM=FC，∠6=∠2=45°，
∴∠MAE=∠6+∠1=90°，
在Rt△MAE中，AE²+AM²=EM²，
∴AE²+FC²=EF²；

（2）AF²+EC²=EF²；理由如下：
过B作MB⊥BE，使BM=BE，连接ME、MF、AM，
∵直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F，
∴∠FBE=180°-135°=45°，
∴∠MBF=90°-45°=45°，
∴∠FBE=∠MBF，
在△MBF和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=BE}\\{∠MBF=∠FBE}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△MBF≌△EBF（SAS），
∴MF=EF，
∵∠MBA=90°-∠ABE，∠EBC=90°-∠ABE，
∴∠MBA=∠EBC，
在△AMB和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=BE}\\{∠MBA=∠EBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，

∴△AMB≌△CBE（SAS），
∴AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，
∴∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，
∴∠MAF=90°，
在Rt△MAF中，AF²+AM²=MF²，
∴AF²+EC²=EF²．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．