Question

13．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，在AB、AD边上各作正方形ABEF，ADGH，求证：平行四边形对角线AC与FH垂直．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质及平行四边形的性质，判定△ABC≌△FAH，得出∠BAC=∠AFH，再根据∠BAC+∠FAQ=90°，得到∠AFH+∠FAQ=90°，最后得出AC⊥FH．

解答 证明：∵正方形ADGH中，AH=AD，
平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴AH=BC
∵正方形ABEF中，AB=FA，∠BAF=90°，
正方形ADGH中，∠DAH=90°，
∴∠BAD+∠FAH=180°，
又∵平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠FAH=∠ABC，
在△ABC和△FAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=AB}\\{∠FAH=∠ABC}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△FAH（SAS），
∴∠BAC=∠AFH，
又∵∠BAC+∠FAQ=90°，
∴∠AFH+∠FAQ=90°，
∴∠AGF=90°，即AC⊥FH．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的性质，解决问题的关键是根据条件判定△ABC≌△FAH或△CDA≌△FAH，依据全等三角形的性质得出对应角相等．