Question

2．阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶的值．
解：设 S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶，①
将①×2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁷，②
由 ②-①得：2S-S=2²⁰¹⁷-1，即S=2²⁰¹⁷-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1
请你仿照此法计算：1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）．

Answer 1

分析 仿照例子，设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，由此可得出3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹，两者做差即可得出3S-S=3ⁿ⁺¹-1，由此即可得出结论．

解答 解：设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ①（其中n为正整数），
将①×3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹②，
由②-①得：3S-S=3ⁿ⁺¹-1，即S=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$，
故1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$（其中n为正整数）．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算1+3+3²+3³+…+3ⁿ．本题属于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论．