Question

18．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：
若b′=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥1}\\{-b，a＜1}\end{array}\right.$，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．
（1）①点（$\sqrt{3}$，1）的限变点的坐标是（$\sqrt{3}$，1）；
②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y=$\frac{2}{x}$图象上某一个点的限变点，这个点是（-1，2）；
（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k的取值范围5≤k≤8．

Answer 1

分析 （1）①根据限变点的定义直接得出答案；
②点（-1，-2）在反比例函数图象上，点（-1，-2）的限变点为（-1，2），据此得到答案；
（2）根据题意可知y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≥1}\\{x-3，-2≤x＜1}\end{array}\right.$的图象上，结合图象即可得到答案．

解答 解：（1）①根据限变点的定义可知点（$\sqrt{3}$，1）的限变点的坐标为（$\sqrt{3}$，1）； 
②（-1，-2）是函数y=$\frac{2}{x}$图象上的点，（-1，-2）限变点为（-1，2），即这个点是点B．
（2）依题意，y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≥1}\\{x-3，-2≤x＜1}\end{array}\right.$的图象上．
∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．
当b′=-2时，-2=-x+3．
∴x=5．    
当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3．
∴x=-2或x=8．   
∵-5≤b′≤2，
由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8，
故答案为：5≤k≤8．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质以及最值的求解，此题有一定的难度．