Question

7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）若点P在线段AC上移动，其它不变，设PC=x，AE=y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠BAD=90°，AC平分∠BAD，证出PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，即可得出结论；
（2）作PF⊥BC于F，由正方形的性质得出∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，由勾股定理求出AC，证出△PCF是等腰直角三角形，得出AP=AC-PC=$\sqrt{2}$-x，BN=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由正方形的性质得出PM=PN，证出∠MPE=∠NPB，由ASA证明△EPM≌△BPN，得出EM=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，证出△APM是等腰直角三角形，得出AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∴四边形PMAN是正方形；
（2）解：作PF⊥BC于F，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，△PCF是等腰直角三角形，
∴AP=AC-PC=$\sqrt{2}$-x，BN=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵四边形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠PNB=90°}&{\;}\\{PM=PN}&{\;}\\{∠MPE=∠NPB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠PAM=45°，∠PMA=90°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），
即$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），
解得：y=1-$\sqrt{2}$x，x的取值范围为0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．