Question

12．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏，“奔跑”需经A，B，C，D四点，如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D点在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．
（1）求证：∠ACD=2∠NAD；
（2）求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）首先根据方向角的定义得出∠NAD=30°，∠N′CD=45°，∠NAC=75°．再由NA∥N′C，求出∠ACN′=180°-∠NAC=105°，那么∠ACD=∠ACN′-∠N′CD=105°-45°=60°，即∠ACD=2∠NAD；
（2）在△ACD中，先求出∠DAC=∠NAC-∠NAD=75°-30°=45°，再根据三角形内角和定理即可求解．

解答 （1）证明：由题意，可得∠NAD=30°，∠N′CD=45°，∠NAC=75°．
∵NA∥N′C，
∴∠NAC+∠ACN′=180°，
∴∠ACN′=180°-∠NAC=105°，
∴∠ACD=∠ACN′-∠N′CD=105°-45°=60°，
∴∠ACD=2∠NAD；

（2）解：在△ACD中，
∵∠DAC=∠NAC-∠NAD=75°-30°=45°，∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=180°-45°-60°=75°．

点评 本题考查了方向角，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握方向角的定义，根据图形得出∠NAD=30°，∠N′CD=45°，∠NAC=75°是解题的关键．