Question

9．AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点．求证：PA=QB．

Answer 1

分析 连接OM、OP、OQ、OC、OD，如图，根据切线的性质可得∠PCO=∠QDO=90°，根据垂径定理的推论可得OM⊥AB即∠PMO=∠QMO=90°，从而可得∠PCO=∠PMO，∠QDO+∠QMO=180°，即可得到P、C、M、O四点共圆，Q、D、O、M四点共圆，根据圆周角定理可得∠OPM=∠OCM，∠ODM=∠OQM．由OC=OD可得∠OCD=∠ODC，从而可得∠OPM=∠OQM，根据等角对等边可得OP=OQ，根据等腰三角形的性质（三线合一）可得MP=MQ，结合条件MA=MB，就可得到PA=QB．

解答 证明：连接OM、OP、OQ、OC、OD，如图所示．
∵PC、DQ为⊙O的切线，M为AB的中点，
∴∠PCO=∠QDO=90°，OM⊥AB即∠PMO=∠QMO=90°，
∴∠PCO=∠PMO，∠QDO+∠QMO=180°，
∴P、C、M、O四点共圆，Q、D、O、M四点共圆，
∴∠OPM=∠OCM，∠ODM=∠OQM．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OPM=∠OQM，
∴OP=OQ．
∵OM⊥PQ，∴MP=MQ．
∵MA=MB，∴PA=QB．

点评 本题主要考查了切线的性质、垂径定理的推论、四点共圆的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识，证到P、C、M、O四点共圆及Q、D、O、M四点共圆，是解决本题的关键．