Question

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x上有一点A，点A的横坐标为2，直线y=kx+b经过点A与x轴正半轴交于点B．△AOB的面积为10，点P是线段OA上一动点，过点P作PH∥x轴交线段AB于H，点P的纵坐标为m．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设PH的长为d，求出d与m之间的函数关系式，并直接写出m的取值范围．
（3）当点P在OA上时，作PK⊥x轴于K，当PK=$\frac{4}{5}$PH时，在x轴确定点Q，使PQ+QA的和最小，求出点Q坐标．（写出正确的求解过程，不必证明）

Answer 1

分析 （1）先求得A的坐标，然后根据三角形的面积求得B的坐标，进而根据待定系数法即可求得．
（2）根据相似三角形对应高的比等于相似比，由△APH∽△AOB得出$\frac{d}{5}$=$\frac{4-m}{4}$，从而求得d与m之间的函数关系式；
（3）根据已知求得P的坐标，然后求得P关于x轴的对称点P′的坐标，设直线P′A的解析式为y=k₁x+b₁，把A、P′的坐标代入，根据待定系数法求得解析式，令y=0，则x=$\frac{4}{3}$，即可求得Q的坐标（$\frac{4}{3}$，0）．

解答 解；（1）∵直线y=2x上有一点A，点A的横坐标为2，
∴y=2×2=4，
∴A（2，4）
∵△AOB的面积为10，
∴$\frac{1}{2}$OB•y_A=10，
∴OB=5，
∴B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$；
（2）∵PH∥x轴，
∴△APH∽△AOB，
∴$\frac{d}{5}$=$\frac{4-m}{4}$，
∴d=-$\frac{5}{4}$m+5，（0≤m≤4）；
（3）∵PK=$\frac{4}{5}$PH，
∴PH=$\frac{5}{4}$PK，
设PH的长为d，点P的纵坐标为m，
∴d=$\frac{5}{4}$m，
∵d=-$\frac{5}{4}$m+5，
∴$\frac{5}{4}$m=-$\frac{5}{4}$m+5，解得m=2，
∴PK=2，
∴P的纵坐标为2，
代入y=2x，解得x=1，
∴P（1，2），
如图，作P关于x轴的对称点P′，连接P′A，与x轴的交点即为Q点，此时PQ+QA的和最小；
∵P（1，2），
∴P′（1，-2），
设直线P′A的解析式为y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+{b}_{1}=4}\\{{k}_{1}+{b}_{1}=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=6}\\{{b}_{1}=-8}\end{array}\right.$，
∴直线P′A的解析式为y=6x-8；
令y=0，则x=$\frac{4}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，0）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质，轴对称-最短路线问题，待定系数法以及相似三角形的性质是考查的重点内容，同学们应学会应用．