Question

19．如图，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C，连接AB，AC．
（1）若△ABC的面积为4，求点B的坐标．
（2）在（1）的条件下，连接OB，求四边形ACOB的面积．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出k，得出反比例函数的解析式，根据B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上得出ab=4，根据△ABC的面积为4得出$\frac{1}{2}$×a×（4-b）=4，求出即可；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义得出S_△OBC=$\frac{1}{2}$|k|=2，再由S_{四边形ACOB}=S_△ABC+S_△OBC即可求解．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：4=$\frac{k}{x}$，
解得k=4，
则反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
∵B（a，b）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴ab=4．
∵△ABC的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$×a×（4-b）=4，
∴2a-$\frac{1}{2}$ab=4，
∴2a-2=4，
a=3，
∵ab=4，
∴b=$\frac{4}{3}$．
则点B的坐标为（3，$\frac{4}{3}$）．

（2）∵B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为C，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴S_{四边形ACOB}=S_△ABC+S_△OBC=4+2=6．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式．