Question

如图，已知E、F分别为?ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接EN、FM，求出EM=FN，EM∥FN，得出平行四边形EMFN，根据平行四边形的性质得出即可．

解答：证明：连接EN、FM，
∵EM⊥AC，FN⊥AC，
∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，
∴EM∥FN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAM=∠FCN，
∵DE=BF，
∴AE=CF，
在△AEM和△CFN中

∠EANM=∠FCN ∠AME=∠CNF AE=CF

∴△AEM≌△CFN（AAS），
∴EM=FN，
∵EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EF与MN互相平分．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出四边形EMFN是平行四边形，题目比较好，难度适中．