Question

如图，⊙O的面积是25π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边（a＞b），且a²+b²=c²．sinA、sinB分别是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的三边长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据a²+b²=c²可知△ABC是直角三角形，再根据韦达定理得出关于m的方程，求出m的值即可；
（2）根据⊙O的面积是25π求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出a、b的长．

解答：解：（1）∵a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，
∵sinA、sinB分别是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两根，
∴

sinA+sinB= 2m-5 m+5 ≤2 sinA•sinB= m-8 m+5 ≥0 sinB=cosA

，
∵（sinA+cosA）²=（sinA）²+（cosA）²+2sinAcosA，即（

2m-5

m+5

）²=1+2×

m+8

m+5

，整理得，m²-24m+80=0，
∴m₁=20，m₂=4（舍去）；

（2）∵⊙O的面积是25π，
∴25π=（

AB

2

）²π，
∴AB=10．
将m=20代入原方程得，25x²-35x+12=0，
∵sinA=

a

c

=

4

5

，sinB=

b

c

=

3

5

，c=AB=10，
∴a=8，b=6．

点评：本题考查的是圆的综合题，熟知勾股定理及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．