Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB=AD，∠BAD=100°，∠BCD=30°，证明：AC=BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰梯形的判定

专题：证明题

分析：作等边△BCE，分别延长BA，CE交于F，连结BD，ED，FD，求出∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，∠ABE=∠DBE=20°，∠BCD=∠ECD=30°，∠BFC=40°，根据SAS证△BCD≌△ECD，推出BD=ED，∠CED=∠CBD=40°，求出四边形FBDE为等腰梯形，推出DF=BE=BC，FE=BD=ED求出∠BFD=∠FDE=∠DFE=

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∠DEC=20°，FA=FD=CB，根据SAS证△FAD≌△CBA，推出CA=FD即可．

解答：证明：如图，作等边△BCE，分别延长BA，CE交于F，连结BD，ED，FD，
∵AD∥BC，AD=AB，∠BAD=100°，∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，
∵∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°，
∴∠ABE=∠DBE=20°，∠BCD=∠ECD=30°，∠BFC=40°，
在△BCD和△ECD中，

BC=CE ∠BCD=∠ECD CD=CD

，
∴△BCD≌△ECD（SAS），
∴BD=ED，∠CED=∠CBD=40°，
∴∠BED=∠EBD=∠FBE，
∴FB∥ED
∵∠BFE=∠FBD，
∴四边形FBDE为等腰梯形，
∴DF=BE=BC，FE=BD=ED
∴∠BFD=∠FDE=∠DFE=

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∠DEC=20°，
∵∠FAD=∠ABC=80°
∴∠ADF=80°=∠FAD
∴FA=FD=CB
在△FAD与△CBA中，

FA=CB ∠FAD=∠CBA AD=BA

，
∴△FAD≌△CBA（SAS）
∴CA=FD
∴AC=BC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，梯形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度偏大．