Question

4．矩形ABCD中，AC是对角线，AB=$\sqrt{3}$，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，点B恰好落在AD边上的点E处，点A经过的路径是$\widehat{AF}$，则图中影阴部分的面积为$\frac{7}{6}π$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．（结果保留π）．

Answer 1

分析 先根据旋转的性质得出∠ECD的度数，再结合矩形的性质，求得CE、AE的长以及扇形的半径AC，最后根据阴影部分面积=扇形ACF面积-△ACE面积-△CEF面积，进行计算即可．

解答 解：由旋转得，∠BCE=60°，BC=EC，AB=FE，
∴∠ECD=30°，
∵AB=CD=$\sqrt{3}$，
∴DE=1，CE=2=BC，
∴AE=AD-DE=2-1=1，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴阴影部分面积
=扇形ACF面积-△ACE面积-△EFC面积
=$\frac{60×π×（\sqrt{7}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$
=$\frac{7}{6}π$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$
=$\frac{7}{6}π$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{7}{6}π$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$

点评 本题以旋转为背景，主要考查了矩形的性质和扇形的面积公式．求阴影面积常用的方法有：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．解题时注意：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差关系．