Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于点A（-4，-2），B（m，4），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点C的坐标及△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）令一次函数表达式中x=0求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-4，-2）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=-4×（-2）=8，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$；
∵点B（m，4）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴4m=8，解得：m=2，
∴点B（2，4）．
将点A（-4，-2）、B（2，4）代入y=-ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a+b}\\{4=-2a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=x+2．
（2）令y=x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC×（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×2×[2-（-4）]=6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．