Question

9．如图，从圆O外的两点C和D分别引圆的两条切线DA，DC，CB，切点分别是A、E和B，AB是圆O的直径，连接OC、OD，延长DO交CB的延长线于点F，给出如下结论：①AD+BC=CD；②OD²=DE•CD；③CO=DF；④△AOD∽△BCO，其中正确的是①②④．（把所有正确的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 ①根据切线长定理得出；
②连接OE，证明△DOE∽△DCO，列比列式；
③画图说明；
④利用两角相等证明两三角形相似．

解答 解：①∵DA，DC，CB为⊙O的切线，切点分别是A、E和B，
∴AD=DE，EC=BC
∴AD+BC=DE+EC=CD，
故选项①正确；
②如图1，连接OE，则OE⊥DC，
由切线可知：∠DAB=∠CBA=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ADC+∠BCD=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠1=∠1，∠DOC=∠DEO=90°，
∴△DOE∽△DCO，
∴$\frac{OD}{CD}=\frac{DE}{OD}$，
∴OD²=DE•CD，
故选项②正确；
③如图1和图2，因为C和D为两个动点，发现随着C的改变，CO的长也随之改变，点C离点B的距离越近，CO越短，但DF越长，所以CO≠DF；
故选项③不正确；
④∵∠DOA+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠DOA=∠4，
∵∠DAB=∠ABC，
∴△AOD∽△BCO，
故选项④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了切线长定理和相似三角形的性质及判定，证明一条线段等于两条线段的和时，把一条线段分成两条线段，分别与两条线段对应相等得出；证明乘积式时，先化成比例式，证明所在的三角形相似．