Question

12．已知函数y=mx²-6x+1（m是常数）．
（1）当该函数的图象与x轴有两个公共点时，求m的取值范围．并求m为最大整数时，方程mx²-6x+1=0（m是常数）的两根；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的图象与x轴有两个公共点，则关于x的一元二次方程mx²-6x+1=0有两个不相等的实数根，根据根的判别式求出m的取值范围；再解方程即可求出方程的两根；
（2）分m=0和m≠0两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵已知函数y=mx²-6x+1（m是常数），当该函数的图象与x轴有两个公共点，
∴令y=mx²-6x+1=0，
∴关于x的一元二次方程mx²-6x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=36-4m＞0且m≠0，即m＜9且m≠0，
∴m的最大整数为8，则方程为8x²-6x+1=0，
∴解方程得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{4}$；
（2）当m=0时，函数y=-6x+1，一次函数图象与x轴只有一个交点，
当m≠0时，
∵该函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴令y=mx²-6x+1=0，由（1）可知△=36-4m，
∴36-4m=0，即m=9，
综上m的值为0或9．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，解题的关键是二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．