Question

17．在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，D在AB的延长线上，E在AD下方且∠OED=90°，∠OAE=∠OEA，CE交AD于F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若OF=1，OA=3，求S_△ACB．

Answer 1

分析 （1）先连接OC，再根据等腰直角三角形的性质，得出OC=AO，根据等角对等边，得出OE=OA，进而判定△OCE是等腰三角形，最后根据等角的余角相等，得出∠DFE=∠DEF即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，求得CO=BO=3，进而计算△ACB的面积．

解答 解：（1）连接OC，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴OC=AO，OC⊥AB，
∵∠OAE=∠OEA，
∴OE=OA，
∴OC=OE，
∴∠OCF=∠OEF，
又∵∠OED=90°，∠COF=90°，
∠CFO=90°-OCF，∠FED=90°-∠OFE，
∴∠CFO=∠FED，
又∵∠CFO=∠DFE，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）∵OA=3，
∴CO=BO=3，
又∵CO⊥AB，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$×AB×CO=$\frac{1}{2}$×6×3=9．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积，解决问题的关键是熟知：等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，具有所有等腰三角形的性质，还具备直角三角形的所有性质．