Question

6．（1）如图1，△ABC和△E中，AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，D点在AB上，连接AE、DC．则AE和CD有什么数量和位置关系？
（2）类比：
若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE，CD之间的数量和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长CD交AE于K，根据全等三角形的性质得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，由于∠DCB+∠CDB=90°，于是得到结论；
（2）由于∠DBE=∠ABC=90°，得到∠ABE=∠DBC，根据全等三角形的性质得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，等量代换得到∠KOA+∠KAO=90°，于是得到结论．

解答 解：（1）AE=CD，AE⊥CD，
理由：延长CD交AE于F，
在△AEB和△CDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBD=90°}\\{AB=BC}\\{BE=DB}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB（SAS）
∴AE=CD，
∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠CDB=90°，
∠ADF=∠CDB，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AE⊥CD；

（2）解：（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠KAO=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点全等三角形的判定与性质，关键是能在较复杂的图形中找出全等的三角形．