Question

11．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=$\sqrt{6}$，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG=OM=CM=OG=$\sqrt{3}$，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案．

解答 解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：
则CP=DP=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，△GCP为直角三角形，
∵四边形EFGH是菱形，∠EHG=120°，
∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，
∴OG=GH•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
由折叠的性质得：CG=OG=$\sqrt{3}$，OM=CM，∠MOG=∠MCG，
∴PG=$\sqrt{C{G}^{2}-C{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵OG∥CM，
∴∠MOG+∠OMC=180°，
∴∠MCG+∠OMC=180°，
∴OM∥CG，
∴四边形OGCM为平行四边形，
∵OM=CM，
∴四边形OGCM为菱形，
∴CM=OG=$\sqrt{3}$，
根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，
∴DN+CM=2PG=$\sqrt{6}$，
∴DN=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．