Question

1．已知，等腰Rt△ABC中AC=BC，点D在BC上，且∠ADB=105°，ED⊥AB，G是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE=2FG，连GE、GB．则下列结论：
①AG⊥BE；②∠DGE=60°；③BF=2FG；④AD+$\sqrt{2}$DC=AB．
其中正确的结论有（　　）

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 延长ED交AB于M，证△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC=75°，即可判断①；求得Rt△EDF中∠EDF=60°，知DE=2DF=2FG即DF=FG，结合AG⊥BE可判断②；在Rt△ACD中由∠ADC=75°可令CD=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$、AC=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$、AD=4，根据AB=$\sqrt{2}$AC，变形后可判断④；由DE=$\sqrt{2}$CD、FG=$\frac{1}{2}$DE、EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE可得FG、EF，再根据BF=BE-EF=AD-EF可得BF的长，即可判断③．

解答 解：如图，延长ED交AB于M，

则∠DMB=90°，
∵∠ADB=105°，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠MDB=45°，∠ADC=75°，∠CAD=15°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CE=CD，
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=75°，
∴∠AFE=180°-∠CAD-∠CEB=90°，即AF⊥BE，故①正确；

∵∠ADC=75°，∠CDE=45°，
∴Rt△EDF中，∠EDF=60°，
∴DE=2DF=2FG，即DF=FG，
∴EF垂直平分DG，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠DGE=60°，故②正确；

方法一：在Rt△ACD中，∵∠ADC=75°，
∴∠PAD=15°，
作∠ADP=∠PAD=15°，
则PA=PD，∠CPD=30°，
设CD=a，则PD=PA=2a，PC=$\sqrt{3}$a，
∴AD=$\sqrt{C{D}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a+\sqrt{3}a）^{2}}$=$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$a，
则$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}a}$=$\sqrt{\frac{1}{8+4\sqrt{3}}}$=$\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
同理可得$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴CD：AC：AD=（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）：（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）：4，
∴令CD=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$、AC=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$、AD=4，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）=2+2$\sqrt{3}$=4+$\sqrt{2}$（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）=AD+$\sqrt{2}$CD，故④正确；
方法二：由①知∠AFB=90°，
∵∠ADC=∠BDF=75°，
∴∠DBF=15°，
由②知△DEG为等边三角形，且BE⊥AG，
∴DF=GF，
∴∠DBF=∠GBF=15°，
∴∠BGF=90°-∠GBF=75°，
∵∠ABG=∠ABD+∠DBF+∠GBF=75°，
∴AB=AG，
又∵DG=DE=$\sqrt{2}$CD，
∴AB=AG=AD+DG=AD+$\sqrt{2}$CD，故④正确；

∵DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴FG=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{3}$-1，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=3-$\sqrt{3}$，
∴BF=BE-EF=AD-EF=4-3+$\sqrt{3}$=1+$\sqrt{3}$，
显然BF≠2FG，故③错误；
综上可知，①②④正确，
故选：B．

点评 本题主要考查等腰直角三角形的性质、中垂线的性质、等边三角形的判定及角平分线定理等知识点，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．