Question

19．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AB=8，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是8$\sqrt{2}$-8≤AD＜4．

Answer 1

分析 以D为圆心，AD的长为半径画圆，当圆与BC相切时，AD最小，与线段BC相交且交点为B或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．

解答 解：以D为圆心，AD的长为半径画圆
①当圆与BC相切时，DE⊥BC时，
∵BC=AC，
∴∠ABC=45°，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∵AB=8，
∴设AD=DE=x，则DB=8-x，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（8-x）=x
∴x=AD=8$\sqrt{2}$-8；
②当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴AD的取值范围是8$\sqrt{2}$-8≤AD＜4．
故答案为：8$\sqrt{2}$-8≤AD＜4．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键．