Question

14．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC与BD交于点0，∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点．求证：△PQR是正三角形．

Answer 1

分析 由于梯形ABCD是等腰梯形∠AOB=60°，可知△OCD与△OAB均为等边三角形．连接CR，BP根据等边三角形的性质可知△BCR与△BPC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知QR=BP=$\frac{1}{2}$BC，由中位线定理可知，QR=QP=PS=$\frac{1}{2}$BC，故△PQR是等边三角形．

解答 证明：连结CR，BP．
∵四边形ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，
∴可得出：△CAB≌△DBA，
∴∠CAB=∠DBA，
同理可得出：∠ACD=∠BDC，
∴AO=BO，CO=DO．
∵∠ACD=60°，
∴△OCD与△OAB均为等边三角形．
∵R是OD的中点，
∴CR⊥DO．
在Rt△BRC中，Q为BC中点，RQ是斜边BC的中线，
∴RQ=$\frac{1}{2}$BC．
同理BP⊥AC．
在Rt△BPC中，PQ=$\frac{1}{2}$BC．
又∵RP是△OAD的中位线，
∴RP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC．
∴RP=PQ=SQ．
∴△PQR为等边三角形．

点评 本题主要考查等腰梯形及直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．