Question

20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为$\sqrt{2}$．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
（1）图1中，连接CO并延长和AB交于点G，求证：CG⊥AB；
（2）图2中，当点P从B出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上运动，连接 PO，当直线PO与⊙C相切时，求点P运行的时间t是多少？
（3）图3中，当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，如果CM⊥EF于点M，令PO=x，MO=y，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求得直线OC的解析式，依据一次项系数乘积为-1的两条直线相互垂直，可证明CG⊥AB；
（2）由y=x与y=-x+2可求得点G的坐标，然后再求得点B的坐标为，接下来依据两点间的距离公式求得OC=2$\sqrt{2}$，OG=$\sqrt{2}$．BG=$\sqrt{2}$．接下来证明△OCE∽△OPG，由相似三角形的性质可求得PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而可求得BP的长，故此可求得t的值
（3）如图所示：先证明△MOC∽△GOP，由相似三角形的性质可得到y与x的函数关系式，当点P与点G重合时，OP有最小值，当OP与圆C相切时OP有最大值，从而可确定出自变量x的取值范围．

解答 解：（1）∵设直线OC的解析式为y=kx，将点C的坐标代入得：-2k=-2，解得；k=1，
∴直线OC的解析式为y=x．
∵函数y=-x+2的一次项系数与函数y=x的一次项系数的乘积为-1×1=-1，
∴直线y=x与直线y=-x+2相互垂直．
∴CG⊥AB．
（2）∵将y=x与y=-x+2联立解得：x=1，y=1，
∴点G坐标为（1，1）．
∵将x=0代入y=-x+2得y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
由两点间的距离公式可知OC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，OG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．BG=$\sqrt{{（1-0）}^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
①如图1所示：

∵直线PO与⊙C相切，
∴CE⊥OE．
在Rt△OCE中，由勾股定理可知：OE=$\sqrt{O{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$
∵在△OCE和△OGP中，∠CEO=∠PGO=90°，∠COE=∠POG，
∴△OCE∽△OPG．
∴$\frac{CE}{PG}=\frac{OE}{OG}$，即$\frac{\sqrt{2}}{PG}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，解得：PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴PB=BG-PG=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴t=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
②如图2所示：

∵直线PO与⊙C相切，
∴CE⊥OE．
在Rt△OCE中，由勾股定理可知：OE=$\sqrt{O{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$
∵在△OCE和△OGP中，∠CEO=∠PGO=90°，∠COE=∠POG，
∴△OCE∽△OPG．
∴$\frac{CE}{PG}=\frac{OE}{OG}$，即$\frac{\sqrt{2}}{PG}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，解得：PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴PB=BG+PG=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴t=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
综上所述，当t=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$或t=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，直线PO与⊙C相切．
（3）如图所示：

∵CM⊥EF，
∴∠CMO=90°．
∴∠CMO=∠OGP．
又∵∠MOC=∠GOP，
∴△MOC∽△GOP．
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OM}{OG}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$．
∴xy=4．
∴y与x的函数关系式为y=$\frac{4}{x}$．
∵当直线OP与圆C相切时，x有最大值，
∴OP=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}）}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
当点P与点G重合时，x有最小值，最小值=OG=$\sqrt{2}$．
∴自变量x的取值范围是$\sqrt{2}$≤x≤$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，证得△OCE∽△OPG、△MOC∽△GOP是解题的关键．