(1)如图1.在矩形ABCD中.点P为边BC上一点.且AB=4.BC=10.∠APD=∠B.BP＜PC.求BP的长,(2)如图2.在平行四边形ABCD中.AB=2$\sqrt{2}$.BC=5.∠APD=∠B=45°.求AP的长,(3)如图3.在四边形ABCD中.AD∥BC.∠B=∠C=45°.AB=2$\sqrt{2}$.在BC边上存在一点P.使得∠APD=90°.则边AD的长满足的条件为AD≥4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．（1）如图1，在矩形ABCD中，点P为边BC上一点，且AB=4，BC=10，∠APD=∠B，BP＜PC，求BP的长；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，BC=5，∠APD=∠B=45°，求AP的长；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=45°，AB=2$\sqrt{2}$，在BC边上存在一点P，使得∠APD=90°，则边AD的长满足的条件为AD≥4．（请直接写出结果）

分析（1）由四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠C=90°，根据余角的性质得到∠BAP=∠DPC，推出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）延长BC至点E，使得CD⊥DE，通过△ABP∽△DPE，列方程得到BP=1，过点P作PF⊥AB，解直角三角形即可得到结论；
（3）作AE⊥BC，DF⊥BC，得到∠AEP=∠DFP=90°，推出△AEP∽△PFD，根据相似三角形的性质得到AE•DF=PE•PF=4，由PE+PF≥2$\sqrt{PE•PF}$，即可得到结论．

解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠APD=∠B=90°，
∴∠PAB+∠APB=∠APB+∠DPC=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{PC}{CD}$，
设BP=x，∴$\frac{4}{x}=\frac{10-x}{4}$
∴x₁=2，x₂=8，又BP＜PC，
∴BP=2；

（2）延长BC至点E，使得CD⊥DE，
∵AB=2$\sqrt{2}$，BC=5，∠APD=∠B=45°，
∴∠DPE=∠BAP，∠B=∠E=45°，
∴△ABP∽△DEP，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{PE}{DE}$，
设BP=x，CE=$\sqrt{2}$CD=4，
∴$\frac{{2\sqrt{2}}}{x}=\frac{9-x}{{2\sqrt{2}}}$，
∴BP=1，
过点P作PF⊥AB，
则BF=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AP=$\sqrt{5}$；

（3）AD≥4，
作AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEP=∠DFP=90°，
∵∠APD=90°，
∴∠EAP+∠APE=∠APE+∠DPF=90°，
∴∠EAP=∠DPF，
∴△AEP∽△PFD，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{PF}{DF}$，
∴AE•DF=PE•PF=4，
∵PE+PF≥2$\sqrt{PE•PF}$，
∴AD=PE+PF≥4．
故答案为：AD≥4．