Question

14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在Rt△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．

解答 解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC=2$\sqrt{2}$，
∴OE=OF=$\sqrt{2}$，
∵OM⊥EF，
∴EM=MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，
在Rt△OME中，∵OE=$\sqrt{2}$，∠OEM=$\frac{1}{2}$∠GEF=30°，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．