Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，动点P从点B开始沿边BA以2cm/s的速度向点A移动，过点P作PE⊥BC，PF⊥AC，设点P移动的时间为t，四边形PECF的面积为S．
（1）写出S与t的函数解析式及t的取值范围；
（2）求出当t为何值时，四边形PECF的面积最大？最大是多少？

Answer 1

分析 （1）解Rt△ABC，求得BC=AB×cos30°=6$\sqrt{3}$cm，根据路程=速度×时间以及已知条件得出PB=2tcm，0≤t≤6，再解Rt△PBE，得到PE=$\frac{1}{2}$PB=tcm，BE=$\sqrt{3}$PE=$\sqrt{3}$tcm，那么EC=BC-BE=（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）cm，代入四边形FCEP的面积S=PE×EC即可；
（2）将（1）中所求解析式利用配方法变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴BC=AB×cos30°=6$\sqrt{3}$cm，
∵动点P从点B开始沿边BA以2cm/s的速度向点A移动，点P移动的时间为t，
∴PB=2tcm，0≤t≤6，
∵在Rt△PBE中，∠PEB=90°，∠B=30°，PB=2tcm，
∴PE=$\frac{1}{2}$PB=tcm，BE=$\sqrt{3}$PE=$\sqrt{3}$tcm，
∴EC=BC-BE=（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）cm，
∴四边形FCEP的面积S=PE×EC=t（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）=-$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t，
∴S=-$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t（0≤t≤6）；

（2）∵S=-$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t=-$\sqrt{3}$（t-3）²+9$\sqrt{3}$，
∴当t=3s时，四边形PECF的面积最大，最大值为9$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的面积，二次函数的最值，根据四边形FCEP的面积S=PE×EC，求出y与t之间的函数关系式是解题的关键．