Question

16．如图，将△ABC第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，顺次连结A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，第二次操作：分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=B₁C₁，C₂A₁=C₁A₁，顺次连结A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂…按此规律，若△A₃B₃C₃的面积是686，则△ABC的面积为2．

Answer 1

分析 先根据已知条件求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．

解答 解：△ABC与△A₁BB₁底相等（AB=A₁B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，
∴S_△A1B1B=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
同理可证S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
因为△A₃B₃C₃的面积是686，
所以△ABC的面积为2，
故答案为：2．

点评 考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．