如图.在Rt△OBC中.OB与x轴正半轴重合.∠OBC=90°.且OC=2.BC=$\sqrt{3}$.将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍.使OB1=OC.得到△OB1C1.将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍.使OB2=OC.得到△OB2C2.-.如此继续下去.得到△OB2016C2016.则点C2016� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，在Rt△OBC中，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OC=2，BC=$\sqrt{3}$，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₁=OC，得到△OB₁C₁，将△OB₁C₁绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₂=OC，得到△OB₂C₂，…，如此继续下去，得到△OB₂₀₁₆C₂₀₁₆，则点C₂₀₁₆的坐标为（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．

分析先解直角三角形求出∠BOC=60°，再求出OC₁、OC₂、OC₃、…、OC₂₀₁₆的长度，再根据周角等于360°，每6次为一个循环，求出点C₂₀₁₆是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．

解答解：∵∠OBC=90°，且OC=2，BC=$\sqrt{3}$，
∴sin∠BOC=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=60°，
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₁=OC，
∴OC₁=2OC=2×2=4=2²，
OC₂=2OC₁=2×4=8=2³，
OC₃=2OC₂=2×8=16=2⁴，
…，
OC_n=2ⁿ⁺¹，
∴OC₂₀₁₆=2²⁰¹⁷，
∵2016÷6=336，
∴点C₂₀₁₆与点C在同一射线上，
∴OB₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$OC₂₀₁₆=2²⁰¹⁶，
C₂₀₁₆B₂₀₁₆=$\sqrt{3}$OB₂₀₁₆=$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶，
∴点C₂₀₁₆的坐标为（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．
故答案为（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．