Question

17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=60°，AB+DC=BC．
（1）如图1，连结AC、BD，求证：AC=BD；
（2）如图2，∠BAD与∠ADC的平分线相交于E点，求∠E的度数；
（3）如图3，若AB=6，CD=3，点P为BC上一点，且∠APD=60°，试判断△APD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在CB上取CE=CD，连接DE，AE，根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据角平分线的定义以及四边形的内角和解答即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质以及等边三角形的判定解答即可．

解答 证明：（1）在CB上取CE=CD，连接DE，AE，如图1：
，
∵AB+DC=BC，
∴AB=BE，
∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴△ABE与△CDE均为等边三角形，
∴AE=BE，DE=CE，
∴∠AEB=∠CED=60°，
∴∠BED=∠AEC=120°，
在△BED与△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴AC=BD；
（2）在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADC=240°，
∵AE，DE分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠EAD+∠EDA=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADC）=120°，
∴∠E=60°；
（3）如图2，

∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
∵∠ABP=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}=\frac{AP}{PD}$，
∵AB=6，CD=3，BC=9，
∴$\frac{6}{9-BP}=\frac{BP}{3}$，
∴BP（9-BP）=18，
解得：BP=3，或BP=6，
当BP=3时，$\frac{AP}{PD}=1$，即AP=PD，
∵∠APD=60°，
∴△APD是等边三角形；
当BP=6时，PC=3，可得△ABP和△CDP均为等边三角形，
∴AP=6，DP=3，即AP=2DP，取AP的中点E，连接DE，
可得：PE=PD，
∵∠APD=60°，
∴△EPD是等边三角形，
∴ED=EP=EA，
∴D点在以AP为直径的圆上，
∴△APD是直角三角形．

点评 此题主要考查了三角形的综合问题，关键是根据全等三角形的判定与性质分析，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．