Question

19．如图．抛物线y=ax²+bx+$\frac{5}{2}$与直线AB交于点A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$），点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（不与点A，B重合），连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析；
（2）设△ADB的面为S，求出当S取最大值时的点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式即可．
（2）设点D坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$），直线DC⊥x轴，与AB交于点C，根据S_△ABD=S_△ACD+S_△BCD构建二次函数，利用二次函数的最值问题解决．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+$\frac{5}{2}$经过点A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\frac{5}{2}=0}\\{16a+4b+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$．
（2）设点D坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$），直线DC⊥x轴，与AB交于点C，
∵直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴点C坐标（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∵S_△ABD=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$）×（4+1）=-$\frac{5}{4}$（m²-3m-4）=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{125}{16}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，△ADB面积最大，此时点D坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{8}$）．

点评 本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．