题目内容
5．
如图，抛物线y=ax2+bx-2经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作于直线BC相切的⊙A，求⊙A的面积；
（3）将直线BC向下平移n个单位后与抛物线交于点M、N，且线段MN=2CB，求直线MN的解析式及平移距离．
附：阅读材料
法国弗朗索瓦•韦达最早发现一元二次方程中根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项羽二次项系数之比，人们称之为韦达定理．
即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则：x1+x2=-$\frac{b}{a}$，x1•x2=$\frac{c}{a}$能灵活运用韦达定理，有时可以使解题更为简单．
分析 （1）设交点式y=a（x-1）（x-4），即y=ax2-5ax+4a，然后利用4a=-2求出a即可得到抛物线解析式；
（2）作AD⊥BC于D，如图，先确定C（0，-2），计算出BC=2$\sqrt{5}$，再证明Rt△BAD∽Rt△BCO，利用相似比可计算出AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，然后利用切线的性质得到圆的半径为AD，再利用圆的面积公式求解；
（3）先利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，则可设直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），利用两函数的交点问题得到x1、x2为方程-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+2t的两根，利用根与系数的关系得x1+x2=4，x1•x2=2t+4，则y1-y2=$\frac{1}{2}$（x1-x2），接着利用两点间的距离公式和完全平方公式得到MN=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{-10t}$，所以$\sqrt{-10t}$=4$\sqrt{5}$，解方程得到t的值，从而得到直线MN的解析式，然后利用直线平移的规律确定平移的距离．
解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-4），
即y=ax2-5ax+4a，
∴4a=-2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）作AD⊥BC于D，如图，
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2=-2，则C（0，-2），
BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∵∠ABD=∠CBO，
∴Rt△BAD∽Rt△BCO，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AD}{2}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵直线BC相切的⊙A，
∴AD为⊙A的半径，
∴⊙A的面积=π•（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）2=$\frac{9}{5}$π；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+m，
把B（4，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
设直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1、x2为方程-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+2t的两根，
方程整理为x2-4x+2t+4=0，
∴x1+x2=4，x1•x2=2t+4，
∵y1-y2=$\frac{1}{2}$x1+t-（$\frac{1}{2}$x2+t）=$\frac{1}{2}$（x1-x2），
∴MN=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[16-4（2t+4）]}$=$\sqrt{-10t}$，
∵MN=2CB，
∴$\sqrt{-10t}$=4$\sqrt{5}$，解得t=-8，
∴直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-8，
∴将直线BC向下平移6个单位得到直线MN，即平移的距离为6．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和切线的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，会通过解方程组求两函数的交点坐标；能利用两点间的距离公式和相似比计算线段的长；灵活应用根与系数的关系．
如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．