Question

14．如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．
（1）请你判断线段BE和DG的关系并证明你的结论；
（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，请你画出图形并判断△MPN的形状，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△BEA与△DAG全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）由三角形中位线定理得出PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，即可得出结论．

解答 解：（1）BE和DG的关系是：BE=DG；BE⊥DG；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAG，
∵在△BEA与△DAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠DAG}&{\;}\\{AE=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△DAG（SAS）；
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∴∠BOD=∠BAD=90°，
∴BE⊥DG；

（2）△MPN是等腰直角三角形；理由如下：
如图，由三角形中位线定理可得：MP∥BE，MP=$\frac{1}{2}$BE，PN∥DG，PN=$\frac{1}{2}$DG，
∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，
即△MPN是等腰直角三角形．

点评 此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理等知识；熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理，证明三角形全等是解决问题的关键．