注意:为了使同学们更好地解答本题的第(Ⅱ)问.我们提供了一种分析问题的方法.你可以依照这个方法按要求完成本题的解答.也可以选用其他方法.按照解答题的一般要求进行解答即可．如图.将一个矩形纸片ABCD.放置在平面直角坐标系中.A.M是边CD上一点.将△ADM沿直线AM折叠.得到△ANM．(Ⅰ)当AN平分∠MAB时.求∠DAM的度数和点M的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．
（Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；
（Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）
在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：
师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．
小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…
小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…

分析（1）由折叠的性质得：△ANM≌△ADM，由角平分线结合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM的长，写出M的坐标；
（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，在Rt△ANQ中，由勾股定理列等式可得关于x的方程：（x+1）²=3²+x²，求出x，得出AB是AQ的$\frac{4}{5}$，即可得出△NAQ和△NAB的关系，得出结论；
（III）如图3，过A作AH⊥BF于H，证明△ABH∽△BFC，得$\frac{BH}{AH}=\frac{CF}{BC}$，Rt△AHN中，∵AH≤AN=3，AB=4，可知：当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，求此时DF的长即可．

解答解：（I）∵A（0，0），B（4，0），D（0，3），
∴AD=3，AB=4，
由折叠得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，
∴∠MAN=∠NAB，
∴∠BAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAM=30°，M（$\sqrt{3}$，3）；

（II）延长MN交AB的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ²=AN²+NQ²，
∴（x+1）²=3²+x²，
解得：x=4，
∴NQ=4，AQ=5，
∵AB=4，AQ=5，
∴S_△NAB=$\frac{4}{5}{S}_{△NAQ}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$AN•NQ=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{24}{5}$；

（III）如图3，过A作AH⊥BF于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴$\frac{BH}{AH}=\frac{CF}{BC}$，
Rt△AHN中，∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，
由折叠得：AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBA=∠BFC}\\{∠AMB=∠BCF}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，
由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴CF=$\sqrt{7}$，
∴DF的最大值为DC-CF=4-$\sqrt{7}$．