Question

9．己知，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，P是BC延长线上的动点，∠PAC=α．
（1）请在图中，用尺规作图的方法在射纸CB上找一点Q，使得∠QAC=α，（保留作图痕迹，不必证明）．并直接写出∠AQB的大小；
（2）在（1）的条件下，证明：AP²+AQ²=（BP-CQ）²．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作一个角等于已知角画出∠QAC=∠PAC；
（2）作∠BAM=α，如图，则∠BAM=∠CAQ，则可证明△ABM≌△ACQ得到BM=CQ，AM=AQ，所以BP-CQ=BP-BM=PM，再证明∠MAP=90°，然后利用勾股定理得到PM²=AP²+AM²，于是利用等线段代换即可得到结论．

解答 （1）解：如图，∠QAC为所作；

∵AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠AQB=∠ACQ+∠QAC=45°+α；
（2）证明：作∠BAM=α，如图，则∠BAM=∠CAQ，
在△ABM和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACQ}\\{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAQ}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACQ，
∴BM=CQ，AM=AQ，
∴BP-CQ=BP-BM=PM，
∵∠BAM=∠PAC=α，
而∠BAC=90°，
∴∠MAP=90°，
在Rt△AMP中，PM²=AP²+AM²，
∴AP²+AQ²=（BP-CQ）²．

点评 本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．解决（2）小题的关键是关键△ABM与△ACQ全等．