题目内容
在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为 ；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中（如图①是该过程的某个时刻），请你观察、猜想，并解答：
的值是否发生变化？如果不变，只需直接写出比值，如果发生变化，请简单说明理由．
（3）连接PB，如图③，在直角尺旋转过程中，随着点E和F位置的改变，我们容易发现，当BE=PE时，
EF垂直平分PB，请计算求出这时点E在距离A点多远处？
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中（如图①是该过程的某个时刻），请你观察、猜想，并解答：
| PF |
| PE |
（3）连接PB，如图③，在直角尺旋转过程中，随着点E和F位置的改变，我们容易发现，当BE=PE时，
EF垂直平分PB，请计算求出这时点E在距离A点多远处？
考点：几何变换综合题
专题：
分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）
的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比
=
=
=2，再利用锐角三角函数的定义求值；
（3）根据勾股定理，可得关于x的一元一次方程，解方程，可得答案．
（2）
| PF |
| PE |
| PF |
| PE |
| GF |
| AP |
| 2 |
| 1 |
（3）根据勾股定理，可得关于x的一元一次方程，解方程，可得答案．
解答：（1）解：
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，则PB=
，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴
=
，即
=
，
∴PC=2
；
故答案为：2
（2）
的值不变．理由为：
证明：
过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GFP，
∴
=
=
=2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF=
=2，
∴
的值不变，
故答案为：
的值不变；
（3）解：
设AE=x，BE=2-x，
由PE=BE=2-x．
在Rt△APE中，由勾股定理，得
AE2+AP2=PE2，
即x2+1=（2-x）2．
解得x=
，
点E在距离A点
时，EF垂直平分PB．
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，则PB=
| 5 |
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴
| AP |
| CD |
| PB |
| PC |
| 1 |
| 2 |
| ||
| PC |
∴PC=2
| 5 |
故答案为：2
| 5 |
（2）
| PF |
| PE |
证明：
过F作FG⊥AD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GFP，
∴
| PE |
| PE |
| GF |
| AP |
| 2 |
| 1 |
∴Rt△EPF中，tan∠PEF=
| PF |
| PE |
∴
| PF |
| PE |
故答案为：
| PF |
| PE |
（3）解：
设AE=x，BE=2-x，由PE=BE=2-x．
在Rt△APE中，由勾股定理，得
AE2+AP2=PE2，
即x2+1=（2-x）2．
解得x=
| 3 |
| 4 |
点E在距离A点
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，以及解直角三角形，勾股定理，解题的关键是利用互余关系证明相似三角形．
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