Question

如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且

AB-4

+|BC-6|=0，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．

（1）求BD的长；
（2）①如图2，在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形？若能，请求出PA的长；若不能，请说明理由；
②如图3，在BC上取一点E，使EC=5，那么当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由条件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的长；
（2）①由题可知只能有∠QPC为直角，当PQ=PC时，可证得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的长；②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三种情况分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．

解答：解：
（1）如图1，连接BD，

∵

AB-4

+|BC-6|=0，
∴AB=4，BC=6，
则在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=

42+62

=2

13

；
（2）①能，AP=4，理由如下：
如图2，由图形可知∠PQC和∠PCQ不可能为直角，所以只有∠QPC=90°，则∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，
∴∠QPA=∠PCD，
当PQ=PC时，
在Rt△APQ和Rt△DCP中

∠QPA=∠PCD ∠A=∠D PQ=PC

∴△APQ≌△DCP（AAS），
∴AP=CD=4，
故在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形，此时AP=4；

②当PC=EC=5时，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB-PD=3，
当PC=PE=5时，如图3，过P作PF⊥BC交BC于点F，则FC=EF=PD=

1

2

EC=2.5，所以AP=AB-PD=6-2.5=3.5，
当PE=EC=5时，如图4，过E作EH⊥AD于点H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4，
综上可知当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长为3、3.5或4．

点评：本题主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质的综合应用，在（2）①中判断出只有PQ=PC一种情况、②中分三种情况进行讨论求解是解题的关键．