Question

16．提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO．
在△ABE和△DAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HDA}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH；

（2）解：EF=GH．
理由：如图所示：

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，熟练利用全等三角形的判定方法得出全等三角形是解题关键．