Question

5．等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，H，G分别为BD，CE的中点，P，F分别为DE，BC中点．
（1）如图1，△AHG的形状为等边三角形，四边形PHFG的形状为菱形（直接写结果）；
（2）将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转到图2的位置时，求证：四边形PHFG是平行四边形；
（3）当图1中的△ADE绕A点顺时针旋转到图3的位置时，试判断△AHG的形状，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）结论：△AGH是等边三角形，四边形PHFG是菱形．只要证明AG=AH，即可证明△AGH是等边三角形．只要证明PH=HF=FG=GP即可解决问题．
（2）连接BE．理由三角形中位线定理，证明FG∥PH，FG=PH即可．
（3）结论：△AGH是等边三角形．先证明△CAE≌△BAD，再证明△GAE≌△HAD，推出∠GAE=∠HAD，推出∠GAH=∠EAD=60°即可解决问题．

解答 （1）解：结论：△AGH是等边三角形，四边形PHFG是菱形．
理由：如图1中，连接BE、CD．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，AC=AB，
∵AE=EC，AD=DB，EG=GC，HD=HB，
∴AG=AH，CD、BE是等边三角形的高，
∴△AGH是等边三角形，CD=BE，
∵EP=PD，EG=GC，
∴GP=$\frac{1}{2}$CD，同理可证HF=$\frac{1}{2}$CD，PH=$\frac{1}{2}$BE，FG=$\frac{1}{2}$BE，
∴PH=HF=FG=GP，
∴四边形PHFG是菱形．
故答案为等边三角形，菱形．

（2）证明：如图2中，连接BE．

∵CG=GE，CF=FB，
∴FG∥EB，GF=$\frac{1}{2}$BE，
∵DP=PE，DH=HB，
∴PH∥BE，PH=$\frac{1}{2}$BE，
∴GF∥PH，GF=PH，
∴四边形PHFG是平行四边形．

（3）解：结论：△AGH是等边三角形．
理由：如图3中，

∵△ABC，△DAE是等边三角形，
∴∠CAB=∠EAD=60°，CA=BA，EA=DA，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD，
∴EC=BD，
∵AG、AH分别是△ACE、△ABD的中线，
∴AG=AH，EG=DH，∵AE=AD，
∴△GAE≌△HAD，
∴∠GAE=∠HAD，
∴∠GAH=∠EAD=60°，
∴△AGH是等边三角形．

点评 本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用三角形的中位线定理，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．