Question

20．已知关于x的一元二次方程x²-2（k-2）x+1=x-k²．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）设方程的两个实数根x₁、x₂，
①若$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=2，求k的值；
②若|x₁|+|x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）当方程有实数根时，△≥0，由此求得k的取值范围；
（2）①利用根与系数的关系和代数式变形进行解答；
②由于方程的两实数根x₁、x₂，满足|x₁|+|x₂|=3，首先把等式两边同时平方，然后利用根与系数的关系即可求解．

解答 解：由原方程得到：x²-（2k-3）x+1+k²=0．
（1）若方程有实数根，
则△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0，
∴k≤$\frac{5}{12}$，
∴当k≤$\frac{5}{12}$，时，此方程有实数根；

（2）①∵方程的两个实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2k-3，x₁x₂=k²+1，
∴由$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=2得到：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（2k-3）^{2}-2（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=2，
整理，得
5-2k=0，
解得k=2.5；

②∵此方程的两实数根x₁、x₂，满足|x₁|+|x₂|=3，
∴（|x₁|+|x₂|）²=9，
∴x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=9，
而x₁+x₂=2k-3，x₁x₂=k²+1，
∴（2k-3）²-2（k²+1）+2（k²+1）=9，
∴2k-3=3或-3，
∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；
∴k=0．

点评 此题分别考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系得到关于k的方程，解方程即可解决问题．