Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D．

（1）求证：∠CAD =∠CAB；

（2）已知抛物线过A、B、C三点，AB=10 ，tan∠CAD=．

① 求抛物线的解析式；

   ② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．

解：

 

Answer 1

 (1)证明：连接O'C,∵ CD是⊙O’的切线    ∴ O'C⊥CD.

∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD

∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB  ∴ ∠CAD=∠CAB  

(2)∵AB是⊙O’的直径，∴∠ACB=90°. 

∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴即OC²=OA∙ OB

∵tan∠CAO=tan∠CAD=,  ∴AO=2CO

又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO),  ∵CO>0  ∴CO=4,AO=8,BO=2

∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..∵ 抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，∴c=4

∴      解得    

 ‚设直线DC交x轴于点F，易得∆AOC∽∆ADC

 ∴ AD=AO=8,  ∵O'C‖AD  ∴∆FO’C∽∆FAD  ∴

∴8(BF+5)=5(BF+10),  ∴  BF=,  F(,0)

设直线DC的解析式为y=kx+m,则   即

∴                         .

由

将E（-3，）代入直线DC的解析式中

右边=

 ∴ 抛物线顶点E在直线CD上  .

ƒ存在,