Question

如图，△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：首先判定该四边形为平行四边形，然后得到其邻边相等，从而证得四边形AEFD为菱形．

解答：证明：∵∠B的平分线交AC于D，
∴∠ABD=∠DBF，
在△ABD和△FBD中，

∠ABD=∠DBF ∠BAD=∠BFD=90° BD=BD

，
∴△ABD≌△FBD，
∴∠ADE=∠EDF，AD=DF，
∵AH⊥BC，DF⊥BC，
即 AE∥DF，
∴∠AED=∠EDF=∠ADE，
∴AE=AD又AD=DF，
∴AE=DF且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴EF=AD且AE=AD=DF，
∴平行四边形AEFD中AE=AD=DF=EF，
∴AEFD为菱形．

点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．