Question

如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，AM=CM；
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证AE=CF，RT△ABF≌RT△CDE，可得BF=DE，即可证明△DEM≌△BFM，可得EM=FM，DM=BM，即可解题；
（2）易证RT△ABF≌RT△CDE，可得BF=DE，即可证明△DEM≌△BFM，可得EM=FM，DM=BM，即可解题．

解答：证明：（1）∵AF=CE，∴AE=CF，
在RT△ABF和RT△CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），
∴BF=DE，
在△DEM和△BFM中，

∠BMF=∠DME ∠DEM=∠BFM DE=BF

，
∴△DEM≌△BFM，（AAS）
∴EM=FM，DM=BM，
∴MB=MD，AM=CM；
（2）在RT△ABF和RT△CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），
∴BF=DE，
在△DEM和△BFM中，

∠BMF=∠DME ∠DEM=∠BFM DE=BF

，
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴EM=FM，DM=BM，
∴MB=MD，AM=CM．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RT△ABF≌RT△CDE和△DEM≌△BFM是解题的关键．