Question

（1）如图1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．
（2）若△ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否任然成立？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据SAS推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠DBC，根据∠ACB=90°求出∠CAE+∠AEC=90°，求出∠DBC+∠BEF=90°，根据三角形内角和定理求出∠BFE=90°即可；
（2）根据SAS推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠DBC，根据∠ACB=90°求出∠CAE+∠AOC=90°，求出∠DBC+∠BOE=90°，根据三角形内角和定理求出∠BFO=90°即可．

解答：（1）AE⊥BD．
证明：在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∵∠CAE=∠DBC，∠AEC=∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF=90°，
∴∠BFE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BD；

（2）解：结论还成立，
理由是：∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AOC=90°，
∵∠CAE=∠DBC，∠AOC=∠BOE，
∴∠DBC+∠BOE=90°，
∴∠BFO=180°-90°=90°，
∴AE⊥BD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACE≌△BCD，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．