Question

如图，△ABC是直角三角形，CM=AB，BM=AN，求∠CPM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：过M作MQ⊥BC使得MQ=BM，易证四边形AMQN为平行四边形，可得AM=QN，∠MAN=∠MQN，易证△CMQ≌△ABM，可得CQ=AM，∠CQM=∠AMB，即可求得∠CQN=90°，即可判定△CQN为等腰直角三角形，可得∠CNQ=45°，再根据AM∥NQ，即可解题．

解答：解：过M作MQ⊥BC使得MQ=BM，

∵MQ⊥BC，AB⊥BC，∴MQ∥AB，
∵MQ=BM，BM=AN，
∴MQ=AN，
∴四边形AMQN为平行四边形，
∴AM=QN，∠MAN=∠MQN，
在△CMQ和△ABM中，

CM=AB ∠CMQ=∠ABM=90° MQ=BM

，
∴△CMQ≌△ABM（SAS），
∴CQ=AM，∠CQM=∠AMB，
∴CQ=QN，
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠CQM+∠MQN=90°，即∠CQN=90°，
∴△CQN为等腰直角三角形，
∴∠CNQ=45°，
∵AM∥NQ，
∴∠CPM=∠CNQ=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰直角三角形的性质，本题中求证△CMQ≌△ABM是解题的关键．