Question

4．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD=CB，AD∥CB，∠DAE=∠BCF，AB=CD，再由已知条件得出AE=CF，由SAS证明△ADE≌△CBF即可；
（2）先证明四边形AGBD是平行四边形，再由菱形的性质得出DE=BE，因此DE=$\frac{1}{2}$AB，得出△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即可得出四边形AGBD是矩形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，∠DAE=∠BCF，AB=CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}&{\;}\\{∠DAE=∠BCF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：四边形AGBD是矩形；理由如下：
∵AD∥CB，AG∥DB，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、菱形的性质、矩形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．