Question

3．已知：如图1，△ABC内接于⊙O，AF⊥BC交BC于点D，交⊙O于点F，BE⊥AC交AC于点E，交AD于点G．
（1）求证：DG=DF；
（2）如图2，当∠ABC=45°时，连接CG，求证：GF=$\sqrt{2}$CG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若GC等于⊙O半径，且BG=2，求线段BC的长

Answer 1

分析 （1）先用等角的余角相等，得出∠CAD=∠CBE，再用同弧所对的圆周角相等，得出∠CAD=∠CBF，即∠DBF=∠DBG，即可得出DG=DF，
（2）先同弧所对的圆周角线段，得出∠AFC=45°，再由（1）得出的结论，利用垂直平分线的性质得出∠DCG=∠DCF，即可得出△CFG是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）先判断出△OCF是等边三角形，从而求出∠CAD=30°，再判断△BDG≌△ADC，得出CD=1，进而用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出DG，BD即可．

解答 解：（1）如图1，连接BF，
∵AF⊥BC交BC于点D，交⊙O于点F，BE⊥AC，
∴∠EAG+∠AGE=90°，∠DBG+∠BGD=90°，
∵∠AGE=∠BGD，
∴∠EAG=∠DBG，
∵∠EAG=∠DBF，
∴∠DBG=∠DBF
∵BC⊥FG，
∴DG=DF（如果三角形一边上的高也是该边所对角的平分线，那么此三角形是等腰三角形），
（2）如图2，连接CF，
由（1）知，DG=DF，
∵CD⊥FG，
∴CG=CF，∠DCG=∠DCF
∵∠ABC=45°，
∴∠AFC=∠ABC=45°，
∵∠CDF=90°，
∴∠DCG=∠DCF=45°，
∴∠FCG=∠DCF+∠DCG=90°，
在Rt△FCG中，∠CFG=45°，
∴GF=$\sqrt{2}$CG，
（3）如图3，

连接OC，OF，CF，
由（2）知，CG=CF，
∵CG=OC，
∴OC=OF=CG，
∴△OCF是等边三角形，
∴∠COF=60°，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠COF=30°，
由（2）∠DCG=45°，∠CDG=90°，
∴∠CGD=45°，
∴∠DCG=∠CGD，
∴DG=DC，
由（1）知，∠DBG=∠DAC
在△BDG和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DAC}\\{∠BDG=∠ADC=90°}\\{DG=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，
∵BG=2，
∴AC=2，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=2，
∴CD=1，
∴DG=CD=1，
在Rt△BDG中，BG=2，DG=1，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+CD=$\sqrt{3}$+1．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆周角的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△CFG是等腰直角三角形，难点是求出AC．